En la terminologia logica actual se dice que la necesidad la posibilidad la contingencia y la imposibilidad son modalidades La rama de la logica que se ocupa de ellas es la logica modal En el simbolismo logico las modalidades suelen representarse mediante operadores proposicionales llamados operadores modales A es necesaria A es posible A es contingente A es imposible No ha resultado facil aclarar el significado de las nociones modales Pero un hecho importante es que resultan claras las relaciones entre ellas tomando como primitiva una cualquiera de ellas las demas se pueden definir en terminos de la escogida es habitual tomar como base el operador necesidad ver 11 Aristoteles escribio sobre modalidades en muchos pasajes de su obra el estaba consciente de la interdefinibilidad de las nociones modales desgraciadamente la teoria Aristotelica del silogismo modal es muy confusa Entre los megaricos contemporaneos de Aristoteles se negaba la diferencia entre acto y potencia y aparentemente esta posicion conducia a un rechazo de las distinciones modales Una generacion despues la discusion de las modalidades atrajo a los megaricos y Diodoro Cronos definia Inferencia visual para las logicas normales lo posible como lo que es o va a ser lo imposible como lo que siendo falso no sera verdadero lo necesario como lo que siendo verdadero no sera falso y lo no necesario como lo que o bien ya es falso o lo sera El pensamiento medieval fue muy rico en discusiones filosoficas sobre modalidades Los filosofos modernos se han ocupado de las modalidades pero mas en conexion con cuestiones teologicas y metafisicas que en relacion con la logica En el siglo XX podemos distinguir 3 etapas la etapa sintactica la etapa semantica y la etapa de la metalogica modal generalizada La figura mas importante de la etapa sintactica fue C I Lewis La publicacion del primer volumen de Principia Mathematica de Whitehead y Russell en 1910 influyo mucho sobre su obra en la logica proposicional de los Principia son derivables las llamadas paradojas de la implicacion material las mas conocidas son 1 Una proposicion verdadera es implicada materialmente por cualquier proposicion 2 Una proposicion falsa implica materialmente cualquier proposicion 3 Dadas dos proposiciones cualquiera siempre estan relacionadas por la implicacion material El punto de partida de las investigaciones de Lewis fue la observacion de que hay una implicacion distinta de la material llamada implicacion estricta mas fuerte que ella y con diferentes leyes formales no valen 1 ni 2 ni 3 Lewis descubrio que era posible construir mas de un sistema modal en 1932 la primera publicacion fue en 1912 se presentan los sistemas S1 S2 S5 Los 5 sistemas carecian de una semantica sistematica todos son extensiones de la logica proposicional clasica en la presentacion de Lewis ninguno lo es de manera explicita despues del primero cada uno es una extension propia del anterior Godel presento un sistema modal como extension explicita de la logica clasica quitando un axioma Feys obtuvo el sistema que ahora llamamos T S4 S5 y T son los tres sistemas mas estudiados ver capitulo 4 La figura mas importante de la etapa semantica fue Kripke en 1959 con Kripke nace la moderna semantica de los mundos posibles con esta se pudo disponer de metodos con los cuales se pueden construir semanticas adecuadas para una gran diversidad de sistemas modales En la etapa de la metalogica modal generalizada el interes teorico se desplaza del analisis de sistemas modales particulares al estudio de grandes familias de tales sistemas esta etapa se inicia con Lemmon y Scott hacia fines de la decada de los anos 60 Muchas investigaciones recientes sobre logica modal caen en dos areas que se denominan teoria de la completitud y teoria de la correspondencia En la teoria de la completitud se clasifican los conjuntos de formulas modales el grupo mas estudiado es el de las logicas normales ver capitulo 3 una pregunta tipica de la teoria de la completitud es Existe para cada logica normal una clase de modelos que la caracterice La teoria de la correspondencia surgio a partir de la observacion de ciertas conexiones entre sistemas modales y propiedades de la relacion de accesibilidad entre mundos posibles ver 16